Podzbiór

Jeżeli $A$ i $B$ są zbiorami oraz każdy element $b \in B$ jest jednocześnie elementem zbioru $A$ , to zbiór $B$ nazywa się podzbiorem zbioru $A$ . Sam zbiór $A$ nosi wtedy nazwę nadzbioru zbioru $B$ :

$B \subseteq A \iff \forall_{b \in B}\ b\in A$ .

Innym spotykanym oznaczeniem jest odwrócenie symboli $B \subseteq A$ , mianowicie $A \supseteq B$ .

Intuicyjnie można powiedzieć, że podzbiór to "część" danego zbioru.

Jeżeli podzbiór $B \subseteq A,\quad B \ne A$ , to $B$ nazywamy podzbiorem właściwym zbioru $A$ i piszemy $B \subset A$ albo $B \subsetneq A$ .

Warto pamiętać, że jeśli $A \subseteq B$ oraz $A \supseteq B$ , to $A = B$ .

Część autorów używa symbolu $\subset$ dla relacji zawierania się, tak właściwego jak i niewłaściwego, choć wg analogii z podobnymi symbolami relacji porządku powinny oznaczać one zawieranie właściwe. Symbole $\subseteq$ i $\subsetneq$ są zawsze jednoznaczne.

[edytuj] Własności

Fakt "bycia podzbiorem" wyrażamy równoważnie przez relację zawierania lub inaczej – inkluzji – o podzbiorze $B$ mówimy, że zawiera się w zbiorze $A$ , zaś o nadzbiorze $A$ , że zawiera zbiór $B$ . Inkluzja ma następujące własności: